Lois marginales et lois conditionnelles

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val44 : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

$val39

Déterminer la loi de $val24.

$m_t
P($val24 = )
1 - Déterminer la loi de $val24.

Bonne réponse : la loi de $val24 est bien donnée par le tableau suivant :

$m_t
P($val24 = ) $(val15[1;$m_t])

2 - Déterminer maintenant la loi $val26.

$m_t
P($val25 = | $val24 = $val20)


Lois marginales

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val44 : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

$val39

Déterminer la loi de $val24.

$m_t
P($val24 = )


Evénement défini par deux v.a.

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val42 : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

$val37

Calculer la probabilité de l'événement { $val24}.


Calcul d'une loi dépendant des deux v.a.

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val32.

1- Déterminer les valeurs possibles pour la variable aléatoire , c'est-à-dire les valeurs qui peuvent être prises avec une probabilité strictement positive (on séparera les valeurs par des virgules).

Bonne réponse : les valeurs possibles pour sont bien .

2- Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un tel couple de variables aléatoires : la case de la -ième ligne de et la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

$val29

Déterminer la loi de la variable aléatoire .

$(val25[$m_t])


Covariance entre deux v.a.

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val35.

La case de la -ième ligne et de la -ième colonne du tableau suivant contient la probabilité que prenne la valeur .

$val32

Calculer $val22.


Indépendance de deux v.a.

Le tableau ci-dessous décrit la loi d'un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val31 : la case de la -ième ligne et de la -ième colonne contient la probabilité que prenne la valeur .

$val26

Les variables et sont-elles indépendantes ?


Espérance conditionnelle

On considère un couple de variables aléatoires qui prend ses valeurs dans l'ensemble $val40.

La case de la -ième ligne et de la -ième colonne du tableau suivant contient la probabilité que $val23 prenne la valeur sachant que l'événement {$val26 = } est réalisé :

$val35

Déterminer l'espérance conditionnelle de $val23 sachant que {$val26 = } pour

$m_t
E($val23 | $val26 = )
1- Déterminer l'espérance conditionnelle de $val23 sachant que {$val26 = } pour $m_in { } :

$m_t
E($val23| $val26 = ) $(val20[$m_t])

Bonne réponse !

2- Le tableau ci-dessous décrit la loi de $val26.

$m_t
P($val26 = ) $(val17[$m_t])

Déterminer l'espérance de $val23.


Propriétés de la loi d'un couple de v.a.

Soit et deux variables aléatoires définies sur un espace de probabilité ( , , ) à valeurs dans un ensemble qui est fini, égal à $m_NN ou égal à $m_ZZ.

$val31 $val32 L'affirmation suivante est-elle toujours vraie ?

Si $val33, alors $val34


Séquence aléatoire I

Une source émet une suite de $val9 chiffres choisis parmi les entiers de 0 à $val8, indépendamment les uns des autres suivant la loi de probabilité suivante :
$val24

Quelle est la probabilité que, dans une telle suite, $val25 ?


Séquence aléatoire II

Une source émet une suite de $val9 chiffres choisis parmi les entiers de 0 à $val8, indépendamment les uns des autres suivant la loi de probabilité suivante :
$val24

1- Quelle est la probabilité que, dans une telle suite, $val25 ?

Bonne réponse ! La probabilité que, dans une telle suite, $val25 est $val28

2- On vous dit que dans la suite de $val9 chiffres émise par la source, $val26. Quelle est la probabilité que, dans cette suite, $val27 ?


Sommation et couple de v.a. 1

Soit un couple de variables aléatoires à valeurs entières.

Compléter l'expression ci-dessous de la probabilité de l'événement { $m_in }

= { $m_in tels que $val6 $m_leq $m_leq $val7 et $val9 $val13 $val8 $val14 $val10} :

= et )
= =

Sommation et couple de v.a. 2

On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans {1,..., $val6} x {1,...,$val7}.

Compléter la formule ci-dessous afin d'exprimer la probabilité de l'événement

{$val10 $val14 $val9 $val15 $val11},

en fonction uniquement des probabilités ( et ) pour $m_in {1,..., $val6} et $m_in {1,...,$val7} :

( $val10 $val14 $val9 $val15 $val11 ) = ( et )

NB : on écrira min(a,b) pour désigner le minimum entre deux réels a et b et max(a,b) pour désigner le maximum entre a et b. On n'utilisera pas de sommes de la forme avec .


Sommation et couple de v.a. 3

On considère un couple de variables aléatoires à valeurs dans les entiers positifs ou nuls. L'objectif est d'exprimer la probabilité de l'événement {$val22} uniquement à l'aide des probabilités pour i $m_in $m_NN et j $m_in $m_NN.

1- Pour cela, vous avez besoin d'une :

1- Pour faire ce calcul, on a besoin d'une $val28. on a besoin d'une $val28. on peut exprimer la probabilité de cet événement soit à l'aide d'une $val28, soit à l'aide d'une $val29.

2- Complétez la formule ci-dessous :
( $val22 ) = i et ) et j)
$val25 =
( $val22 ) = P( = i et = j)
$val13 = $val14 =
NB : on écrira


Tirage de deux numéros I

$val12 choisit au hasard un numéro entier entre 1 et $val7. $val13 choisit au hasard un numéro entier entre 1 et $val6.

Notons la variable aléatoire désignant le numéro tiré par $val12 et la variable aléatoire désignant le numéro tiré par $val13.

1- Compléter l'écriture suivante de l'événement A: $val24, en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible :

A: { }

NB : on pourra utiliser les fonctions min, max et abs en mettant les arguments de ces fonctions entre parenthèses, séparés par une virgule s'il y en a deux. Par exemple, min(a,b) désigne le minimum entre les deux nombres a et b.

1- Compléter l'écriture suivante de l'événement A: $val24, en utilisant les variables aléatoires et de la façon la plus simple possible.

Bonne réponse ! l'événement A: "$val24" s'écrit A:{$val20 }

2- Calculer maintenant la probabilité que $val19


Tirage de deux numéros II

$val12 choisit au hasard un numéro entier entre 1 et $val7. $val13 choisit au hasard un numéro entier entre 1 et $val6.

1- Calculer la probabilité que $val20.

Bonne réponse ! la probabilité que $val20 est $val30 $val31

2- Sachant que $val21, quelle est la probabilité $val23 ?