线性近似
设
是
上的实函数, 定义为
. 求
在
. 如果不存在, 则回答 no .
线性近似 2
设
是
上的实函数, 定义为
. 求
在
的线性近似.
数量场 2D
的点
处的$val6构成一个数量场, 设它由
确定.
计算点 ($val13,$val14) 处的$val6 .
$val7取常数 $val15 时的等值线方程是什么 ?
$val6$val20 时
方向导数
设
是两个变量的 C1 实函数,
和
是
里的两个实向量, 定义为
.
如果你知道了
在
点的两个方向
和
上的方向导数
和
, 能否计算
在
的其它方向的方向导数 ?
设
是向量 w=($val18, $val19). 计算
沿方向
的导数, 如果已知
其中
.
你说得对, 这是不可能的, 因为向量
和
共线.
是否可能有
, 其中
?
偏导数的复合 I
设
是
上的两个变量
与
的实函数,
是
上由下式定义的实函数
. 计算
关于
的偏导数.
(x,y)=
(
,
) +
(
,
)
偏导数 1
计算定义为
的函数
的偏导数.
偏导数 2
计算定义为
的函数
的
.
偏导数的复合 II
设
是
上的两个变量
与
的实函数,
是
上由下式定义的实函数
.
计算
关于
的二阶导数.
(x,y)=
(
,
) +
(
)
+
(
) +
(
)
+
(
)
(x,y)= (
)
(
) +
(
,
)
+ (
)
(
) + (
)
(
)
+
(
)
(x,y)=
(
) + (
)
(
)
+
(
,
) + (
)
(
)
+
(
)
Taylor 公式 (1)
设
是
上的
实函数.
写出在点
的 1 阶 Taylor-$val11 公式. 如有必要,
是一个适当的点使得
,
,
是一个当
趋于 $val7 与
趋于 $val8 时也趋于 0 的函数.
点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在写回答时, 请按标准顺序写出各项, 不要别出心裁乱排 !
事实上, 点
的 1 阶 Taylor-$val11 公式可写成 $val13
其中
是一个当
趋于 $val7 与
趋于 $val8 时也趋于 0 的函数
其中
是一个适当的点使得
,
假设
$val18
对所有满足
,
的
. 利用这些信息, 上述 Taylor 公式能否用来给出
的上界, 其中
,
? 如果可以, 请写出从已知数据能得到的最好上界. 否则, 回答 no.
Taylor 公式 (2)
设
是
上的
实函数.
写出在点
的 2 阶 Taylor-$val11 公式. (如有必要,
是一个适当的点使得
,
,
是一个当
趋于 $val7 与
趋于 $val8 时也趋于 0 的函数):
点击阴影区域下方的符号或项就能将其写入回答栏, 右方的叉用于全部清除, 向左的箭头用于删除最近写入的符号. 在写回答时, 请按标准顺序写出各项, 不要别出心裁乱排 !
事实上, 点
的 2 阶 Taylor-$val11 公式可写成 $val13
其中
是一个当
趋于 $val7 与
趋于 $val8 时也趋于 0 的函数
其中
是一个适当的点使得
,
设
是如下定义的仿射函数
假设 $val19
对所有满足
,
的
. 利用这些信息, 上述 Taylor 公式能否用来给出
的上界, 其中
,
? 如果可以, 请写出从已知数据能得到的最好上界. 否则, 回答 no.
盒子的变化 I
一个盒子的宽度
, 长度
和高度
都随着时间而变化. 在某一给定时刻, 其度量为
cm,
cm,
cm, 并且宽度
按比值 $val9 cm/s $val13, 长度
按比值 $val10 cm/s $val15, 高度
按比值 $val11 cm/s $val17. 求在此时刻$val22的增长速度. (要写出单位)
盒子的变化 II
一个盒子的宽度
, 长度
和高度
都随着时间而变化. 在某一给定时刻, 其度量为
cm,
cm,
cm, 并且宽度
按比值 $val9 cm/s $val13, 长度
按比值 $val10 cm/s $val15, 高度
按比值 $val11 cm/s $val17. 求在此时刻$val22的增长速度. (要写出单位)
电阻变化 I
在一个电子电路里并联了 3 个电阻
,
与
. 这 3 个电阻随时间而变化. 在某一时刻
, 它们的阻值为
,
与
欧姆. 设
是反映它们的等价电阻随时间变化的函数.
给出
在
的导数公式 :
=
+
+
我们有
= $val20
+ $val21
+ $val22
在
,
按比值 $val9 ohms/s $val13,
按比值 $val10 ohms/s $val15,
按比值 $val11 ohms/s $val17. 计算在此时刻等价电阻的增长速度. (要写出单位)
此练习分成几步.