Courbes paramétrées et gradient

Soit [$val6,$val7] $m_to une courbe paramétrée d'équations

pour $m_in [$val6,$val7].

Soit une fonction de dans telle que

pour $m_in [$val6,$val7].

On se donne les valeurs suivantes :

Que vaut ? Le gradient de au point peut-il être non nul ? Donner les valeurs possibles de la pente du gradient de au point dans le cas où ce gradient est non nul. S'il y a plusieurs possibilités, les écrire toutes (en les séparant par des virgules). En effet, le gradient de au point est nul. On suppose que est de classe . Calculer

et dire si admet un extremum local en

Gradient I

Voici quelques courbes de niveau équidistantes de la fonction définie par

.

Calculer la direction $val9 au point à la courbe de niveau passant par (donner la pente à près si elle est finie et inf si elle est infinie).
xrange $val25-$val27, $val25+$val27 yrange $val26-$val27, $val26+$val27 parallel $val25-$val27,$val26-$val27,$val25+$val27,$val26-$val27,0,$val27/10,20,grey parallel $val25-$val27,$val26-$val27,$val25-$val27,$val26+$val27,$val27/10,0,20,grey arrow 0,0, 0,$val27,10,black arrow 0,0, $val27, 0 ,10,black vline 0,0, black hline 0,0, black levelcurve magenta, $val12, $val32 levelcurve blue, $val12 , $val22 disk $val13,$val14, 5,blue text black, $val13,$val14, giant, A

Gradient II

Voici quelques courbes de niveau de la fonction définie par

dessinées avec un pas de $val32 et deux points et . Le gradient de est-il de norme plus $val26 au point ou au point ?
xrange -$val7,$val7 yrange -$val7,$val7 parallel -$val7,-$val7,$val7,-$val7, 0,0.5, $val7*20, grey parallel -$val7,-$val7,-$val7,$val7, 0.5,0, $val7*20, grey arrow -$val7,0,$val7,0,10,black arrow 0,-$val7,0,$val7,10,black levelcurve magenta,$val10,$val36 disk $val11,$val12, 5, blue disk $val13,$val14, 5, blue text black, $val30,medium, $val28 text black, $val29,medium, $val27

Isothermes et adiabatiques

On appelle isothermes les courbes de niveau de la fonction

$m_to

et adiabatiques les courbes de niveau de la fonction

$m_to .

On a tracé sur le dessin les courbes de niveau de et de . Les $val14 sont en .

xrange 0,2*$val7 yrange -$val8/10,2*$val8 levelcurve $val34,y*x^($val17),$val28 levelcurve $val32,y*x^($val16),$val27 hline black, 0,0 vline black, 0,0 text black, $val7*1.1,$val8*1.1,medium, A disk $val7,$val8,7,blue linewidth 2 line $val7-1,$val8-$val22, $val7+1,$val8+$val22,$val32 line $val7-1,$val8-$val23, $val7+1,$val8+$val23,$val34
L'exercice a plusieurs étapes

Pente et gradient

Vous êtes sur la montagne d'équation

au point de coordonnées ($val12 , $val13) sur la carte. Dans quelle direction (sur la carte) allez-vous partir dans l'espoir d'atteindre le sommet le plus rapidement ? Donner la réponse sous la forme d'un vecteur :

( , )

Quel angle fait votre direction de départ avec $val7 ? Donnez la réponse en degrés et en approchant par le réel avec une décimale qui est le plus proche