显式方程的弧长 2D

计算曲线 位于 和 之间的长度.

xrange $val19,$val20 yrange $val25,$val26 arrow $val19,0,$val20,0,10,grey arrow 0,$val25,0,$val26,10,grey plot skyblue,$val11 trange $val16,$val17 linewidth 3 plot blue,$val11

你的回答的精度应达到小数点后 4 位.


参数方程的弧长 2D

计算以下参数曲线

,

在 与 之间的弧长.

xrange $val23,$val24 yrange $val29,$val30 trange $val17,$val18 arrow $val23,0,$val24,0,10,grey arrow 0,$val29,0,$val30,10,grey plot skyblue,$val12,$val13 trange $val14,$val15 linewidth 3 plot blue,$val12,$val13

你的回答的精度应达到小数点后 4 位.


相交三次曲线的面积

计算以下蓝色区域的面积, 其中红色曲线的函数是 f(x) = $val19.

你的回答的精度应达到 5 位数字.


圆弧距离

点 以常速沿半径为 $val6 的圆周运动, 而另一点 则是处于与圆心相距 $val7 的固定位置. 计算这两个点的平均距离.

你的回答的精度应达到小数点后 4 位.


三次曲线面积

计算以下阴影区域的面积, 其中 C 是函数 f(x) = $val6$val103-$val7$val10$val8 的曲线, LC 的水平切线.

计算结果的精度至少 5 位数字.


日食面积

有一个日偏食, 其中月球的阴影半径等于太阳的平径. 而太阳月亮的中心距离是太阳半径的 $val6 倍. 计算太阳圆面被月球遮挡部分所占的百分比.

计算精度要求达到 0.1% 或更高.


闭的极坐标长度

极坐标方程 定义了一条曲线$val14, 其中 是极角. 计算此曲线 被标记部分 的长度.

xrange -$val22,$val22 yrange -$val22,$val22 fill 0,0,white tstep 500 trange $val17,$val18 arrow 0,0,$val22,0,12,grey disk 0,0,6,red plot skyblue,($val13)*cos(t),($val13)*sin(t) trange $val15,$val16 linewidth 2 plot blue,($val13)*cos(t),($val13)*sin(t)

开的极坐标长度

极坐标方程 定义了一条曲线$val15, 其中 是极角. 计算此曲线 的 从 到 的长度.

xrange -$val22,$val22 yrange -$val22,$val22 fill 0,0,white tstep 500 trange $val17,$val18 arrow 0,0,$val22,0,12,grey disk 0,0,6,red plot skyblue,($val14)*cos(t),($val14)*sin(t) trange $val9,$val10 linewidth 2 plot blue,($val14)*cos(t),($val14)*sin(t)

螺线极坐标长度

极坐标方程 定义了一条曲线$val17, 其中 是极角. 计算此曲线 的 从 到 的长度.

xrange -$val24,$val24 yrange -$val24,$val24 fill 0,0,white tstep 500 trange $val19,$val20 arrow 0,0,$val24,0,12,grey disk 0,0,6,red plot skyblue,($val16)*cos(t),($val16)*sin(t) trange $val9,$val10 linewidth 2 plot blue,($val16)*cos(t),($val16)*sin(t)

已知对数面积

考虑函数 . 下图显示了 $m_f(x) 的曲线. 红色竖线是由方程 x=c 给出的. 已知蓝色区域的面积等于 $val10, 问 c 的值是什么?

xrange $val13,$val14 yrange $val15,$val16 arrow $val13,0,$val14,0,10,grey arrow 0,$val15,0,$val16,10,grey text grey,0.95*$val14,0.1*$val16,small,x text grey,0.03*$val14,0.98*$val16,small,y trange 0,$val14 plot black,t,$val17 vline $val11,0,red fill 0.8*$val11,0.2*$val12,skyblue

你的回答的精度至少应有 4 位小数.


抛物线重心

计算以下阴影区域的重心 p0=(x0,y0), 其中 C 是函数 f(x) = $val10 定义的曲线.

计算结果的精度至少 5 位数字.


抛物线面积

计算以下阴影区域的面积, 这里 C 是函数 f(x) = $val6$val132 的曲线, L 是由方程 $val12$val8$val13+$val7$val14=$val9 定义的直线.

计算结果的精度至少 5 位数字.


抛物线面积 II

计算以下阴影区域的面积, 这里 C 是函数 f(x) = $val6$val92 的曲线, 两条直线 L1L2 分别由方程 y=$val8 和 y=$val7 确定.

计算结果的精度至少 5 位数字.


抛物线与圆围成的面积

计算以下阴影区域的面积, 这里 C 是中心在原点半径为 $val8 的圆, 而 P 是函数 f(x) = $val17 的曲线.

计算结果的精度至少 5 位数字.


二次曲线围成的面积

计算以下蓝色区域的面积, 其中 C 是函数 f(x) = $val16 的图像, L 是直线 x = $val18.

你的回答至少应有 5 位数字.


已知二次面积 *

考虑函数 . 其曲线如下图所示. 已知黄色区域的面积等于 $val19, 求 c 的值?

xrange $val23,$val24 yrange $val26,$val27 plot black,$val13 arrow $val23,0,$val24,0,10,grey fill $val18,$val10*(-1)*0.1,yellow arrow 0,$val26,0,$val27,10,grey text grey,$val24-0.04*$val25,0.07*$val28,small,x text grey,0.03*$val25,$val27-0.01*$val28,small,y

你的回答至少应该精确到2 位小数.


球形蓄水罐

工厂有一个内直径为 $val6 米的球形蓄水罐, 通常的水位是距底部 $val7 米. 有一天由于系统故障, 水位跌到 $val8 米. 问为了恢复到正常水位需要抽多少水进去?

旋转体面积

计算由旋转以下红色曲线所生成的立体的$val31面积:

它的旋转轴是 轴, 从 $val15 到 $val16.

xrange $val23,$val24 yrange $val25,$val26 arrow $val23,0,$val24,0,10,grey arrow 0,$val25,0,$val26,10,grey text black,$val24-0.04*($val27),0.08*($val28),small,x text black,0.03*($val27),$val26-0.02*($val28),small,y dline $val15,0,$val15,$val17,black dline $val16,0,$val16,$val18,black trange $val15,$val16 plot red,$val13 v=0.3 u=0.8 r=$val24-0.12*($val27) m=0.03*$val27 n=0.07*$val28 trange v,2*pi-v plot black,m*cos(t)+r,n*sin(t) arrow m*cos(u)+r,n*sin(u),m*cos(v)+r,n*sin(v),8,black

旋转体体积

计算以下红色曲线生成的旋转体体积

其旋转轴是 轴, 从 $val15 到 $val16.

xrange $val23,$val24 yrange $val25,$val26 arrow $val23,0,$val24,0,10,grey arrow 0,$val25,0,$val26,10,grey text black,$val24-0.04*($val27),0.08*($val28),small,x text black,0.03*($val27),$val26-0.02*($val28),small,y dline $val15,0,$val15,$val17,black dline $val16,0,$val16,$val18,black trange $val15,$val16 plot red,$val13 v=0.3 u=0.8 r=$val24-0.12*($val27) m=0.03*$val27 n=0.07*$val28 trange v,2*pi-v plot black,m*cos(t)+r,n*sin(t) arrow m*cos(u)+r,n*sin(u),m*cos(v)+r,n*sin(v),8,black