Trous d'addition

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val10[$m_i])

Classes de congruences

$val16 ?


Congruences avec un paramètre

Calculer le nombre modulo $val7 en fonction du chiffre .

Consigne : Dans la réponse, les entiers doivent être compris entre 0 et $val8.


Trous cubiques

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val10[$m_i])

Trous de division

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val10[$m_i])

Division I

Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Division II

Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Division III

Calculer $val10/$val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Diviseurs de zéro

Est-ce que $val7 est un diviseur de zéro dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ ?

Diviseurs de zéro II

Trouver l'ensemble des diviseurs de zéro dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. (Dans cet exercice on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.)

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 1 et $val7, et séparer les éléments par des virgules.


Diviseurs de zéro III

Nous avons $val7=$val62, où $val6 est un nombre premier. Combien de diviseurs de zéro y a-t-il dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ ?

Dans cet exercice, on ne considère pas le 0 comme un diviseur de zéro.


Racines modulo p^2

Soit le polynôme . Il a deux racines $val9 et $val10 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Calculer-les.
(on les donnera sous forme d'un entier compris entre 0 et $val8).

Soit dans $m_ZZ. Calculer mod .
(les entiers apparaissant seront compris entre 0 et ). Vous avez trouvé mod . Ainsi, l'équation mod est équivalente à

mod .

Existe-t-il un unique entier compris entre 0 et , congru à $val9 modulo $val7 et tel que

mod ?

Réponse : L'équation mod est en effet équivalente à l'équation mod $val7.

Calculer l'entier compris entre 0 et , congru à $val9 modulo $val7 et tel que mod . Combien y-a-t-il de solutions (modulo ) à l'équation mod qui soient congrues à $val10 mod $val7 ?


Inverse I

Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Inverse II

Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Inverse III

Trouver l'inverse de $val9 dans $m_ZZ/$val7$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Puissance inversible

$val9 est un nombre premier. La fonction  $m_ZZ/$val9$m_ZZ  $m_to  $m_ZZ/$val9$m_ZZ définie par est-elle bijective ?

Divisibilité

On suppose que le nombre premier $val7 divise pour deux entiers et . Peut-on conclure que $val7 divise et ?

Equation linéaire modulaire

Soit l'équation dans $m_ZZ

$m_equiv $val12 mod $val8

L'équation a-t-elle une solution ?

L'ensemble des solutions est de la forme $m_ZZ avec un entier positif et un ensemble fini d'entiers de $m_NN strictement inférieurs à . En prenant le plus petit possible, donner tous les éléments de . L'ensemble des solutions est de la forme $m_ZZ avec un ensemble fini d'entiers de strictement inférieurs à $val8. Donner tous les éléments de

 + $m_ZZ $val8 $m_ZZ

Remplacer le second membre $val12 par un autre entier de manière à ce que la nouvelle équation ait une solution.

Trous de multiplication

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val10[$m_i])

Multiples spéciaux

Soit . Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base avec chiffres tous égaux à 1 soit un multiple de .

Multiples spéciaux II

Soit . C'est un nombre premier. Trouver le plus petit entier tel que l'entier qui s'écrit en base sous la forme avec fois le motif $val9 soit un multiple de .

Période d'un rationnel en base b

Le développement du rationnel écrit en base $val6 est périodique de période $val7 à partir de la première $val10-ième "décimale". Quels sont tous les diviseurs premiers possibles du dénominateur de (dans l'écriture décimale) ?

Trous de polynôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val15[$m_i])

Puissances

Calculer l'élément $val9$val7 dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Puissances II

$val6 est un nombre premier. Calculez l'élément $val9$val7 dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val8.

Trous de puissance

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val10[$m_i])

Racines modulo

Soit le nombre premier $val7. On désire calculer un entier tel que

$m_equiv $val9 mod $val7 .


Racines

$val6 est un nombre premier. Il y a un élément dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ, tel que a$val10 soit congru à $val16 modulo $val6. Trouver .

Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.


Racines de l'unité dans Z/pZ (I)

Soit l'équation

$m_equiv 1 mod $val6 .

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

$m_equiv 1 mod $val6

et donner le nombre de solutions

Racines de l'unité dans Z/pZ (II)

Soit le système d'équations

Calculer le plus petit entier tel que cette équation soit équivalente à

$m_equiv 1 mod $val6 .

Quel est le nombre de solutions modulo $val6 ?

Calculs simples dans Z/nZ

Calculer dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.

Calculs simples modulo n

Calculer modulo $val6 . Le résultat doit être représenté par un nombre compris entre 0 et $val7.

Carrés

Trouver l'ensemble des carrés dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ. (Un carré dans $m_ZZ/$val6$m_ZZ est un élément qui est le carré d'un autre.)

Ecrire chaque élément par un nombre compris entre 0 et $val7, et séparer les éléments par des virgules.


Somme et produit

Trouver deux entiers $val7, $val8 tels que

0 $val7 $val10 , 0 $val8 $val10 ,

$val7 + $val8 $val13 (mod $val9) , $val7 × $val8 $val14 (mod $val9) .

Vous pouvez entrer les deux nombres dans n'importe quel ordre.


Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans $m_ZZ du système d'équations suivant

On écrira les solutions sous la forme
= * + *
= * + *
avec et dans $m_ZZ.

Système linéaire modulo n I

Le système d'équations suivant

a-t-il une unique solution modulo $val19 ?

Système linéaire modulo n II

Trouver toutes les solutions dans $m_ZZ du système d'équations suivant

On écrira les solutions sous la forme
= + * + *
= + * + *
avec et dans $m_ZZ.

Trous de trinôme

Considérons une application , qui envoie sur . Remplissez le tableau suivant pour en tirant les nombres donnés en bas.

$(val12[$m_i])