Degré du pgcd avec dérivée

Soit un polynôme de degré $val12 et à coefficients $val11, ayant $val6 racines réelles et $val7 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit la dérivée de . Quel est le degré de pgcd( ) ?

Min. deg racines multiples

Quel est le degré minimum d'un polynôme P(x) à coefficients $val20 admettant  : Répondez -1 si vous pensez qu'un tel polynôme n'existe pas.

Degré de somme

Soient $val6($val8) et $val7($val8) deux polynômes. Complétez :

Si deg($val6)=$val9 et deg($val7)=$val11, alors $val13 est un polynôme de degré ________.


Equation de différence

Trouver le polynôme $val7($val6) tel que

$val7($val6$val17)-$val7($val6$val18) = $val23$val62$val26$val6$val27

et que $val7($val28)=$val29.

Tapez x^3 pour $val63, etc.


Trouver racine multiple degré 3

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 4

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 5

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


Trouver racine multiple degré 6

Le polynôme suivant a une racine multiple. Trouver cette racine.


pgcd donné avec dérivée

Trouver le polynôme tel que : Vous pouvez entrer le polynôme sous forme développée ou factorisée. Tapez x^3 pour , etc.

Racine donnée deg 3

Déterminez le polynôme

P($val6) = $val63$val22$val62$val23$val6$val24 ,

sachant que $val8 et $val9 sont réels, et que $val13 en est une racine.


Min. deg pgcd avec dérivée 2

Soit P(x) un polynôme de degré $val14 et à coefficients $val13, ayant $val8 racines réelles et $val9 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P''(x) la dérivée seconde de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P''(x)) ?

Min. deg pgcd avec dérivée n

Soit P(x) un polynôme de degré $val13 et à coefficients $val12, ayant $val6 racines réelles et $val7 racines complexes différentes (non comptées avec multiplicités). Soit P($val8)(x) la dérivée d'ordre $val8 de P(x). Quel est le minimum du degré de pgcd(P(x),P($val8)(x)) ?

Multiplicité d'une racine degré 3

Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 4

Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 5

Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité d'une racine degré 6

Le nombre $val8 est une racine du polynôme suivant. Calculer sa multiplicité.


Multiplicité paramétrée degré 3

Trouver une valeur de pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.

ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.

Multiplicité paramétrée degré 4

Trouver une valeur de pour que le polynôme suivant ait une racine multiple, et trouver cette racine multiple.

ATTENTION. Cet exercice n'accepte pas les réponses approximatives ! Il y a toujours une solution entière. Trouvez-la.

Paramétré deg 2

Pour quelles valeurs réelles du paramètre $val7 le polynôme

($val7$val12)$val62 + (2$val7$val13)$val6 + $val7$val14

a $val17 ? ( )


Paramétré deg 2 II

Pour quelle valeur réelle du paramètre $val7 le polynôme

($val12$val7$val16)$val62 + ($val13$val7$val17)$val6 + ($val14$val7$val18)

a une racine égale à $val11 ? (Sous condition que $val12$val7$val16 $m_ne 0.)


Racines polynome complexe deg 2

Calculer les deux racines du polynôme

P($val7) = $val72 + ($val14$val18$val6)$val7 + ($val16$val19$val6).

Vous pouvez entrer les deux racines $val8,$val9 dans n'importe quel ordre.


Fonction de racines deg 2

Soient , les deux racines du polynôme

où est un coefficient réel. Quelle est la valeur de  ? (Cette valeur est une fonction de .)


Fonction de racines deg 3

Soient , , les trois racines du polynôme

 ,

où est un coefficient réel non nul. Quelle est la valeur de  ? (Cette valeur est une fonction de $m_a.)


Re(racine) deg 2

Soit P($val6) = $val8$val62 $val10$val6 +$val7 un polynôme à coefficients réels, ayant deux racines complexes conjuguées. Quelle est la partie réelle d'une racine r ?

Compte racines avec dérivée

Soit un polynôme de degré $val11 et à coefficients $val14, et soit le polynôme dérivé de . On sait que pgcd( ) est un polynôme de degré $val10. Quel est le nombre de racines distinctes de  ? (racines réelles et complexes confondues)

Racine de polynôme composé

Soient $val6($val8) un polynôme, et $val7($val8) = $val82$val11$val8$val16 un autre polynôme. Considérons les polynômes composés $val6($val7($val8)) et $val7($val6($val8)). Complétez :

Si $val19 est une racine de $val18, alors $val21.


Racines réelles deg 2

Trouver les deux racines r1, r2 du polynôme

$val10$val62 $val15 $val14 .

(Les racines sont réelles, et l'ordre des racines est sans importance.)

Multiplicité racine de somme

Soient $val6($val8) et $val7($val8) deux polynômes. Complétez :

Si $val9 est une racine de multiplicité $val10 de $val6($val8) et aussi une racine de multiplicité $val12 de $val7($val8), alors $val9 est une racine de multiplicité ________ de $val14.


Statut racines deg 2

Quel est le type de racines du polynôme de degré 2 suivant ?

$val17$val62 $val21$val6 $val22


Factorisation de trinôme

Factoriser .

Etape 1. Mettons les termes de en un carré complet :

= ( )2.
Nous avons .

Etape 2. Donc

-
= - 2 .
Donc

- $val15
=

Etape 3. Maintenant on applique la formule :

( )( ).

Résultat : . (Il faut entrer les expressions simplifiées.)


Racine triple deg 3

Pour quelles valeurs réelles des paramètres $val7 et $val8 le polynôme

P($val6) = $val63 + $val10$val7$val62 + $val8$val6 + ($val9-$val7)

a une racine triple ?


Racine triple deg 3 II

Pour quelles valeurs réelles des paramètres $val7 et $val8 le polynôme

P($val6) = $val63 $val12$val7$val62 $val13$val8$val6 +($val9+$val7+$val8)

a une racine triple ? (La solution n'est pas forcément unique.)